Метод Гауса–Жордана

Тепер ми переходимо до більш цікавої теми, а саме обернена матриця — метод Гауса‑Жордана. Що це взагалі таке? У вас виникне таке запитання.

Уявіть собі: 3 × 1/3 = 1. Число 1/3 — обернене до 3. Обернена матриця — це те саме, але для матриць.

A⁻¹ ми позначаємо так обернену матрицю. A — це звичайна квадратна матриця. I — це одинична матриця.

Це спосіб знаходження оберненої матриці та розв’язання систем.

Ідея методу:

1. Приписуємо до матриці одиничну.
2. За допомогою елементарних перетворень зліва отримуємо одиничну.
3. Справа тоді з’являється обернена матриця.

Дозволені перетворення рядків:

1. Міняти рядки місцями.
2. Множити рядок на ненульове число.
3. Додавати до одного рядка інший, помножений на число.

Нам дана матриця, завдання — знайти обернену. Фото 1

Крок 1: занулюємо трійку під одиницею: R2 = R2 − 3 × R1. Фото 2

Крок 2: зробити −2 одиницею: R2 = R2 / (−2). Фото 3

Крок 3: занулити елемент над головною діагоналлю: R1 = R1 − 2 × R2. Фото 4

Ось і все рішення! Тепер зліва у нас одинична матриця, а справа — обернена.

Дано матрицю:

Дописуємо справа одиничну:

Крок 1

Ми занулюємо всі числа під першим елементом: R3 = R3 − R1

І одразу домножуємо 3 рядок на −1, щоб в одиничній матриці було додатнє число.

Крок 2

R1 = R1 − 2R2

R2 = R2 − R3

Це і є наша відповідь. І традиційно я пропоную вам перевірити себе і спробувати розв’язати матрицю самостійно.