Ранг

Ранг матриці

Ранг матриці — це ще одне важливе поняття, яке знадобиться нам при розв'язанні систем лінійних рівнянь.

Що таке ранг матриці

Ранг матриці — це максимальна кількість лінійно незалежних рядків (або стовпців) матриці.

Простіше кажучи: ми зводимо матрицю до ступінчастого вигляду за допомогою елементарних перетворень, і кількість ненульових рядків — це і є ранг.

Позначається: rg(A) або rank(A).

Приклад: матриця 2×2

Знаходимо ранг

Маємо матрицю:

Бачимо, що другий рядок — це перший, помножений на 2. Виконаємо R₂ = R₂ − 2·R₁:

Після перетворення:

Один ненульовий рядок → rg(A) = 1.

Приклад: матриця 3×3

Покрокове зведення

Маємо матрицю:

Матриця A 3×3: [[1,2,3],[2,4,6],[0,3,9]]

Крок 1. Бачимо, що R₂ = 2·R₁, а R₃ = 3·[0,1,3]. Спростимо: R₂ ÷ 2, R₃ ÷ 3:

Після спрощення: [[1,2,3],[1,2,3],[0,1,3]]

Крок 2. Віднімемо R₂ = R₂ − R₁:

Після віднімання: [[1,2,3],[0,0,0],[0,1,3]]

Крок 3. Переставимо рядки (нульовий рядок вниз) — отримуємо ступінчасту форму:

Ступінчаста форма: [[1,2,3],[0,1,3],[0,0,0]] — Зелені сходинки показують ступінчасту структуру

Два ненульових рядки → rg(A) = 2.

Що варто запам'ятати

Щоб знайти ранг — зведіть матрицю до ступінчастого вигляду елементарними перетвореннями і порахуйте ненульові рядки.

Ранг важливий для систем рівнянь: система сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці коефіцієнтів дорівнює рангу розширеної матриці (теорема Кронекера–Капеллі).