Learn Math2Gether
СЛАР

Системи лінійних рівнянь

Тепер, коли ви вмієте працювати з матрицями та визначниками, час застосувати ці знання для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

Два основні методи

Існує багато способів розв’язання СЛАР, але ми розглянемо два найпоширеніші:

  • Метод Крамера — через визначники (детермінанти).
  • Метод Гауса — через елементарні перетворення розширеної матриці.

Метод Крамера працює лише тоді, коли визначник матриці коефіцієнтів Δ ≠ 0. Якщо Δ = 0 — використовуйте метод Гауса.

Правило підстановки (Крамер)

Щоб знайти невідому, замінюємо відповідний стовпець матриці коефіцієнтів на стовпець вільних членів:

  • замінюємо 1-й стовпець → шукаємо x
  • замінюємо 2-й стовпець → шукаємо y
  • замінюємо 3-й стовпець → шукаємо z

Метод Крамера: система 2×2

2x + 3y = 8, x + 4y = 9

Маємо систему:

Система: 2x+3y=8, x+4y=9

Крок 1. Знаходимо головний визначник Δ:

Δ = |2,3; 1,4| = 5

Δ ≠ 0, отже система має єдиний розв’язок.

Крок 2. Знаходимо Δx і Δy — замінюємо відповідний стовпець на стовпець вільних членів:

Δx = 5, Δy = 10

Крок 3. Обчислюємо змінні:

x = Δx / Δ = 5 / 5 = 1    y = Δy / Δ = 10 / 5 = 2

Відповідь: x = 1, y = 2.

Метод Крамера: система 3×3

x + y + z = 6, x + 2y + 3z = 14, 2x + y + z = 7

Маємо систему:

Система: x+y+z=6, x+2y+3z=14, 2x+y+z=7

Крок 1. Головний визначник Δ:

Δ = |1,1,1; 1,2,3; 2,1,1| = 1

Крок 2. Знаходимо Δx — замінюємо перший стовпець на стовпець вільних членів:

Δx = |6,1,1; 14,2,3; 7,1,1| = 1

Крок 3. Аналогічно знаходимо Δy = 2, Δz = 3 і обчислюємо змінні:

x = 1, y = 2, z = 3

Відповідь: x = 1, y = 2, z = 3.

Метод Гауса: система 2×2

x + y = 3, 2x + 3y = 8

Ідея методу: записуємо розширену матрицю системи і зводимо її до ступінчастого вигляду елементарними перетвореннями рядків.

Розширена матриця:

[1,1|3; 2,3|8]

Виконаємо R₂ = R₂ − 2·R₁:

Ступінчастий вигляд:

[1,1|3; 0,1|2]

З другого рядка: y = 2. З першого: x + 2 = 3, тобто x = 1.

Відповідь: x = 1, y = 2.

Метод Гауса: система 3×3

x + 2z = 1, y + z = 1, x + z = 0

Записуємо розширену матрицю системи:

[1,0,2|1; 0,1,1|1; 1,0,1|0]

Крок 1. R₃ = R₃ − R₁:

[1,0,2|1; 0,1,1|1; 0,0,−1|−1]

Крок 2. R₃ = R₃ · (−1):

[1,0,2|1; 0,1,1|1; 0,0,1|1]
Ступінчаста форма

Зворотний хід:

  • З рядка 3: z = 1
  • З рядка 2: y + 1 = 1 → y = 0
  • З рядка 1: x + 2 = 1 → x = −1

Відповідь: x = −1, y = 0, z = 1.

Що варто запам'ятати

Метод Крамера — швидкий для невеликих систем (2×2, 3×3), але потребує Δ ≠ 0. Метод Гауса — універсальний і працює для будь-яких систем.

На практиці частіше використовують метод Гауса, оскільки він ефективніший для великих систем і не потребує обчислення визначників.