Learn Math2Gether
База

База і розмірність

Уяви, що ти збираєш конструктор. Тобі не потрібні всі деталі світу, щоб побудувати замок — достатньо мати набір основних типів блоків.

Що таке база

База — це набір векторів, з яких можна виразити будь-який інший вектор цього простору через лінійну комбінацію.

Дві головні умови бази:

  1. Лінійна незалежність: жоден вектор бази не можна виразити через інші. Вони — «унікальні гравці».
  2. Повнота: цих векторів має бути достатньо, щоб отримати будь-який вектор простору через лінійну комбінацію.

Розмірність простору (dim)

Кількість векторів у базі дорівнює розмірності простору.

  • Якщо для бази достатньо 2 векторів — це площина (2D).
  • Якщо потрібно 3 вектори — це об’ємний простір (3D).

Стандартна база

Найпопулярніша база — це вектори вздовж координатних осей, що мають довжину 1:

  • На площині: i⃗ = (1, 0) та j⃗ = (0, 1)
  • Будь-який вектор, наприклад a⃗ = (3, 5), це просто лінійна комбінація: 3i⃗ + 5j⃗

Простими словами: стандартна база — це як інструкція: «Пройди 3 кроки вздовж осі X і 5 кроків вздовж осі Y».

Стандартна база: i = (1,0) та j = (0,1)
Стандартна база R²

Баз може бути нескінченно багато. Тобі не обов’язково рухатися строго по осях X та Y. Головне, щоб вектори були лінійно незалежні і їх вистачало для побудови всього простору!

Як перевірити, чи є вектори базою?

Через детермінант

Алгоритм дій для квадратної матриці n × n:

  1. Запиши вектори як стовпчики матриці.
  2. Знайди детермінант (визначник) цієї матриці.
  3. Якщо Δ ≠ 0 — вектори лінійно незалежні, отже, вони є базою.
  4. Якщо Δ = 0 — вектори лінійно залежні, вони не можуть бути базою.

Приклад у R²: чи є вектори a⃗ = (1, 2) та b⃗ = (3, 5) базою на площині?

  1. Складаємо матрицю зі стовпчиків: [[1, 3], [2, 5]]
  2. Рахуємо: Δ = 1·5 − 3·2 = 5 − 6 = −1
  3. Оскільки −1 ≠ 0, вектори лінійно незалежні.

Відповідь: так, це база.