Learn Math2Gether
Залежність

Лінійна залежність і незалежність

Це перевірка того, чи є серед твоїх векторів ті, що не додають нового напрямку, а просто дублюють інші через лінійну комбінацію.

Визначення

Лінійна незалежність. Вектори називаються лінійно незалежними, якщо жоден з них не можна виразити як лінійну комбінацію інших векторів з цього набору. Кожен вектор у такому наборі унікальний і несе нову напрямну інформацію.

Приклад: a⃗(1, 0) та b⃗(0, 1) — жоден не виражається через інший. Вони незалежні.

Незалежні вектори (1,0) та (0,1)

Лінійна залежність. Вектори називаються лінійно залежними, якщо хоча б один із них можна виразити через лінійну комбінацію інших.

Приклад: a⃗(1, 2) та c⃗(2, 4). Тут c⃗ = 2·a⃗ — він не дає нового напрямку, тому цей набір векторів залежний.

Залежні вектори (1,2) та (2,4) — колінеарні

Як це перевірити?

Через детермінант

Поширений спосіб для просторів R² та R³ — скласти вектори у квадратну матрицю (як стовпчики) і порахувати детермінант (Δ):

  • Якщо Δ ≠ 0 — вектори лінійно незалежні. Вони не виражаються один через одного і можуть утворювати базу.
  • Якщо Δ = 0 — вектори лінійно залежні. Це сигнал, що один із них «зайвий».

Приклад у R²: перевіримо a⃗(1, 3) та b⃗(2, 6).

Матриця: [[1, 2], [3, 6]]. Δ = 1·6 − 2·3 = 6 − 6 = 0.

Висновок: вектори лінійно залежні.

Геометричний зміст

  • На площині (R²): два вектори залежні, якщо вони лежать на одній прямій (колінеарні).
  • У просторі (R³): три вектори залежні, якщо вони лежать в одній площині (компланарні).

Уяви, що ти намагаєшся побудувати об’єм за допомогою трьох векторів, але всі вони лежать в одній площині (як на листі паперу) — об’єму не вийде, бо вектори не дають виходу в третій вимір.

Чому це важливо для СЛАР та матриць?

  • Ранг: якщо рядки або стовпчики матриці лінійно залежні — ранг матриці буде меншим за її розмір.
  • Розв’язки: якщо вектори-коефіцієнти в системі рівнянь залежні — система може мати нескінченно багато розв’язків або не мати їх зовсім.

Lifehack: якщо ти бачиш, що один вектор є кратним іншого (наприклад, (1, 2) і (5, 10)), не витрачай час на розрахунки. Вони гарантовано лінійно залежні!

Завдання

Спробуй сам

Перевір, чи є вектори a⃗ = (2, 1) та b⃗ = (4, 3) лінійно незалежними (базою в R²).

Підказка: склади матрицю зі стовпчиків і знайди визначник.